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    精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

    【題目】如圖,經過原點的拋物線y=﹣x2+2mx(m>0)與x軸的另一個交點為A.過點P(1,m)作直線PM⊥x軸于點M,交拋物線于點B.記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C(B、C不重合).連接CB,CP.

    (1)當m=3時,求點A的坐標及BC的長;
    (2)當m>1時,連接CA,問m為何值時CA⊥CP?
    (3)過點P作PE⊥PC且PE=PC,問是否存在m,使得點E落在坐標軸上?若存在,求出所有滿足要求的m的值,并定出相對應的點E坐標;若不存在,請說明理由.

    【答案】
    (1)

    解:當m=3時,y=﹣x2+6x

    令y=0得﹣x2+6x=0

    ∴x1=0,x2=6,

    ∴A(6,0)

    當x=1時,y=5

    ∴B(1,5)

    ∵拋物線y=﹣x2+6x的對稱軸為直線x=3

    又∵B,C關于對稱軸對稱

    ∴BC=4


    (2)

    解:連接AC,過點C作CH⊥x軸于點H(如圖1)

    由已知得∠ACP=∠BCH=90°

    ∴∠ACH=∠PCB

    又∵∠AHC=∠PBC=90°

    ∴△ACH∽△PCB,

    ,

    ∵拋物線y=﹣x2+2mx的對稱軸為直線x=m,其中m>1,

    又∵B,C關于對稱軸對稱,

    ∴BC=2(m﹣1),

    ∵B(1,2m﹣1),P(1,m),

    ∴BP=m﹣1,

    又∵A(2m,0),C(2m﹣1,2m﹣1),

    ∴H(2m﹣1,0),

    ∴AH=1,CH=2m﹣1,

    ,

    ∴m=


    (3)

    解:∵B,C不重合,∴m≠1,

    (1.)當m>1時,BC=2(m﹣1),PM=m,BP=m﹣1,

    (i)若點E在x軸上(如圖1),

    ∵∠CPE=90°,

    ∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°,PC=EP,

    在△BPC和△MEP中,

    ,

    ∴△BPC≌△MEP,

    ∴BC=PM,

    ∴2(m﹣1)=m,

    ∴m=2,此時點E的坐標是(2,0);

    (ii)若點E在y軸上(如圖2),

    過點P作PN⊥y軸于點N,

    易證△BPC≌△NPE,

    ∴BP=NP=OM=1,

    ∴m﹣1=1,

    ∴m=2,

    此時點E的坐標是(0,4);

    (2.)當0<m<1時,BC=2(1﹣m),PM=m,BP=1﹣m,

    (i)若點E在x軸上(如圖3),

    易證△BPC≌△MEP,

    ∴BC=PM,

    ∴2(1﹣m)=m,

    ∴m= ,此時點E的坐標是( ,0);

    (ii)若點E在y軸上(如圖4),

    過點P作PN⊥y軸于點N,

    易證△BPC≌△NPE,

    ∴BP=NP=OM=1,

    ∴1﹣m=1,∴m=0(舍去),

    綜上所述,當m=2時,點E的坐標是(2,0)或(0,4),

    當m= 時,點E的坐標是( ,0).


    【解析】(1)把m=3,代入拋物線的解析式,令y=0解方程,得到的非0解即為和x軸交點的橫坐標,再求出拋物線的對稱軸方程,進而求出BC的長;(2)過點C作CH⊥x軸于點H(如圖1)由已知得∠ACP=∠BCH=90°,利用已知條件證明△ACH∽△PCB,根據相似的性質得到: ,再用含有m的代數式表示出BC,CH,BP,代入比例式即可求出m的值;(3)存在,本題要分當m>1時,BC=2(m﹣1),PM=m,BP=m﹣1和當0<m<1時,BC=2(1﹣m),PM=m,BP=1﹣m,兩種情況分別討論,再求出滿足題意的m值和相對應的點E坐標.

    練習冊系列答案
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