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    精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

    【題目】如圖,三棱柱中,側棱底面,且各棱長均相等, 分別為棱的中點.

    (1)證明平面;

    (2)證明平面平面;

    (3)求直線與平面所成角的正弦值.

    【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)

    【解析】試題分析:(1)連接,根據平幾知識得四邊形為平行四邊形,即得,根據線面平行判定定理得結論(2)先根據正三角形性質得,再根據線面垂直條件得,可得平面,最后根據面面垂直判定定理得結論(3)過點,則根據面面垂直性質定理得平面.即為直線與平面所成的角.最后通過解三角形得直線與平面所成角的正弦值.

    試題解析:(1)證明:如圖,在三棱柱中, ,且,連接,在中,因為分別為的中點,

    所以,

    又因為的中點,可得,,即四邊形為平行四邊形,所以.

    平面, 平面,所以平面.

    2證明:由于底面是正三角形, 的中點,,

    又由于側棱底面, 平面,所以,

    ,因此平面,平面,

    所以平面平面.

    3解:在平面內,過點交直線于點,連接

    由于平面平面,而直線是平面與平面的交線,故平面.由此得為直線與平面所成的角.

    設棱長為,可得,,易得.

    , .所以直線與平面所成角的正弦值為.

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