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    【題目】在平面直角坐標系中,焦點在軸上的橢圓經過點,其中為橢圓的離心率.過點作斜率為的直線交橢圓兩點(軸下方).

    (1)求橢圓的方程;

    (2)過原點且平行于的直線交橢圓于點, ,求的值;

    (3)記直線軸的交點為.若,求直線的斜率.

    【答案】(1);(2);(3)

    【解析】試題分析:(1)將點坐標代入橢圓方程,化簡可得(2)根據投影可得,聯立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理代入化簡可得定值(3)先求交點坐標,再根據,得,利用(2)韋達定理得等量關系,解出直線的斜率.

    試題解析:(1)因為橢圓經過點,所以.

    因為,所以.

    因為,所以.

    整理得,解得(舍),所以橢圓的方程為.

    (2)設, .因為,則直線的方程為.

    聯立直線與橢圓方程,

    消去,得,所以.

    因為,所以直線方程為,

    聯立直線與橢圓方程,消去,解得.

    因為,所以.

    因為 ,

    ,

    所以 .

    (3)在中,令,則,所以,

    從而, .

    因為,所以,即.

    由(2)知, .

    ,解得, .

    因為,所以,

    整理得,解得(舍).

    又因為,所以.

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