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    【題目】已知函數.

    (1)若,求函數的單調遞減區間;

    (2)若關于的不等式恒成立,求整數的最小值

    【答案】(1);(2)2

    【解析】試題分析:

    (1)由可求得,求導后令解不等式可得單調遞減區間.(2)構造函數,則問題等價于上恒成立.當時,求導可得上單調遞增,又,故不滿足題意.當時,可得的最大值為,因為單調遞減,且, ,所以當時, ,從而可得整數的最小值為2.

    試題解析

    (1)因為,

    所以,

    ,

    所以 ,

    ,解得,

    所以的單調減區間為

    (2)令, ,

    由題意可得上恒成立.

    ①當時,則

    所以上單調遞增,

    又因為,

    所以關于的不等式不能恒成立.

    ②當時, ,

    ,得

    所以當時, ,函數單調遞增;

    時, ,函數單調遞減.

    故當時,函數取得極大值,也為最大值,且最大值為

    ,

    上單調遞減,

    因為,

    所以當時, ,

    所以整數的最小值為2.

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