【題目】已知函數， .

（1）求過點的的切線方程；

（2）當時，求函數在的最大值；

（3）證明：當時，不等式對任意均成立（其中為自然對數的底數， ）.

【題目】如圖所示的自動通風設施.該設施的下部是等腰梯形，其中為2米，梯形的高為1米， 為3米，上部是個半圓，固定點為的中點. 是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和平行.當位于下方和上方時，通風窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風）.

（1）設與之間的距離為（且）米，試將通風窗的通風面積（平方米）表示成關于的函數；

（2）當與之間的距離為多少米時，通風窗的通風面積取得最大值？

【題目】已知為函數的導函數，且.

（1）判斷函數的單調性；

（2）若，討論函數零點的個數.

【題目】已知動圓過定點，且在軸上截得的弦長為.

（1）求動圓的圓心點的軌跡方程；

（2）過點的動直線與曲線交于兩點，平面內是否存在定點，使得直線分別交于兩點，使得直線的斜率，滿足？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

【題目】已知四邊形為等腰梯形， , 沿對角線將旋轉，使得點至點的位置，此時滿足.

（1）判斷的形狀，并證明；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

（1）已知10名學生的平均成績為88，計算其中位數和方差；

（2）已知全市學生學習成績分布服從正態分布，某校實驗班學生30人.

①依據（1）的結果，試估計該班學業水平測試成績在的學生人數（結果四舍五入取整數）；

②為參加學校舉行的數學知識競賽，該班決定推薦成績在的學生參加預選賽若每個學生通過預選賽的概率為，用隨機變量表示通過預選賽的人數，求的分布列和數學期望.

正態分布參考數據：

已知， ，函數.

（Ⅰ）當， 時，解關于的不等式；

（Ⅱ）若函數的最大值為2，求證： .

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數圖象恒過的定點坐標；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點，且.

【題目】設為坐標原點，動點在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點滿足.（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與點的軌跡交于兩點，過作與垂直的直線與點的軌跡交于兩點，求證： 為定值.

【題目】高中生在被問及“家，朋友聚集的地方，個人空間”三個場所中“感到最幸福的場所在哪里？”這個問題時，從中國某城市的高中生中，隨機抽取了55人，從美國某城市的高中生中隨機抽取了45人進行答題.中國高中生答題情況是：選擇家的占、朋友聚集的地方占、個人空間占.美國高中生答題情況是：家占、朋友聚集的地方占、個人空間占.為了考察高中生的“戀家（在家里感到最幸福）”是否與國別有關，構建了如下列聯表.

（Ⅰ）請將列聯表補充完整；試判斷能否有的把握認為“戀家”與否與國別有關；

（Ⅱ）從中國高中生的學生中以“是否戀家”為標準采用分層抽樣的方法，隨機抽取了5人，再從這5人中隨機抽取2人.若所選2名學生中的“戀家”人數為，求隨機變量的分布列及期望.

附： ，其中.