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    08高考數學奇偶性與單調性測試 函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一,考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義,掌握判定方法,正確認識單調函數與奇偶函數的圖象. ●難點磁場 ()設a>0,f(x)=是R上的偶函數,(1)求a的值;(2)證明: f(x)在(0,+∞)上是增函數. ●案例探究 [例1]已知函數f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試

    08高考數學奇偶性與單調性測試 函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一,考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義,掌握判定方法,正確認識單調函數與奇偶函數的圖象. ●難點磁場 ()設a>0,f(x)=是R上的偶函數,(1)求a的值;(2)證明: f(x)在(0,+∞)上是增函數. ●案例探究 [例1]已知函數f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試參考答案

    參考答案

    難點磁場

    (1)解:依題意,對一切x∈R,有f(x)=f(-x),即+aex.整理,得(a)

    (ex)=0.因此,有a=0,即a2=1,又a>0,∴a=1

    (2)證法一:設0<x1x2,則f(x1)-f(x2)=

    x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1-e<0,

    f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

    f(x)在(0,+∞)上是增函數

    證法二:由f(x)=ex+ex,得f′(x)=exex=ex.(e2x-1).當x∈(0,+∞)時,ex>0,e2x-1>0.

    此時f′(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上是增函數.

    殲滅難點訓練

    一、1.解析:f(-x)= =-f(x),故f(x)為奇函數.

    答案:C

    2.解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函數,圖象關于原點對稱.

    答案:C

    二、3.解析:令t=|x+1|,則t在(-∞,-1上遞減,又y=f(x)在R上單調遞增,∴y=f(|x+1|)在(-∞,-1上遞減.

    答案:(-∞,-1

    4.解析:∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x,

    b=-a(x1+x2),又f(x)在[x2,+∞單調遞增,故a>0.又知0<x1x,得x1+x2>0,

    b=-a(x1+x2)<0.

    答案:(-∞,0)

    三、5.證明:(1)設-1<x1x2<+∞,則x2x1>0, >1且>0,

    >0,又x1+1>0,x2+1>0

    >0,

    于是f(x2)-f(x1)=+ >0

    f(x)在(-1,+∞)上為遞增函數.

    (2)證法一:設存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則且由0<<1得0<-<1,即x0<2與x0<0矛盾,故f(x)=0沒有負數根.

    證法二:設存在x0<0(x0≠-1)使f(x0)=0,若-1<x0<0,則<-2,<1,∴f(x0)<-1與f(x0)=0矛盾,若x0<-1,則>0, >0,∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾,故方程f(x)=0沒有負數根.

    6.證明:∵x≠0,∴f(x)=,

    設1<x1x2<+∞,則.

    f(x1)>f(x2),故函數f(x)在(1,+∞)上是減函數.(本題也可用求導方法解決)

    7.證明:(1)不妨令x=x1x2,則f(-x)=f(x2x1)= 

    =-f(x1x2)=-f(x).∴f(x)是奇函數.

    (2)要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).

    f(x+a)=fx-(-a)]=.

    f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數.

    8.(1)證明:設x1x2,則x2x1>-,由題意f(x2x1)>0,

    f(x2)-f(x1)=f[(x2x1)+x1]-f(x1)=f(x2x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2x1)-1=f(x2x1)+f(-)-1=f[(x2x1)-]>0,

    f(x)是單調遞增函數.

    (2)解:f(x)=2x+1.驗證過程略.

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