新高考來了，盡管大家對新高考有這樣那樣的看法，但是我們還是必須面對它，研究它.為了讓學生知道新高考考什么,對于教師來說，必須研究新高考的指導思想是什么?研究課程改革的理念, 研究新高考與課程改革的關系，研究新高考與原高考的區別等等,從而明確新高考考什么.
高考的方式,高考的內容可以變, 但是用數學的思想,數學的方法去培養學生的能力這一數學教育目的沒有變, 因此,在數學高考的復習中, 用數學的思想,數學的方法去提高學生的數學思維能力還是數學復習的基本方法，基本指導思想.
解題必須有思想的指導,也就是說,數學解題的基本方法是具有思想性的. 數學的思想是數學基本方法的靈魂.
在數學復習中，有意識地揭示這些數學基本方法中所隱含的數學思想, 在數學學習活動中形成一些數學的觀點；在數學知識結構的形成、完善過程中，有意識地用數學的觀點去觀察、分析數學問題，不斷地獲取、積累、深化這些數學的觀點，使這些數學的觀點能夠在數學思維中升華為數學意識,從而就能從根本上提高思維能力, 提升思維層次,提高數學能力,這是數學學習的有效方法之一,也是數學學習的目的.
例1．已知 
, 
,求 
的值.
分析(1) 
,
,在公式
中是聯系在一起的,由此,我們可以下面的解法.
解法(1) ∵ ,
∴ =
=
=8.
分析(2) 顯然由和要分別解出
的值是不可能的,但是,我們可以利用和消去中的變元,從而得的值,也就是說,消元就是解這個問題的指導思想,而且, 消元在代數式的求值中具有一般的指導意義.
解法(2) ∵ , ,
∴ 
, 
,
∴ =
=
=
=8.
例2. 設
，求證：
.
證明方法(一):
=
=
(1)
>
故成立.
證明方法(二)
==
∴ 
=
=
故成立.
問題: ①表達式(1)是如何冒出來的? ②證明方法(一)與證明方法(二)有什么關系?
例3．化簡：
.
分析: 這是一個極容易的化簡題, 學生很可能盲目地獲得結果.我們要問: 解本題的指導思
想是什么?
先看下面兩個解法:
解法(一): 原式=
=
=
=
=1
解法(二): 原式=
=
=1
說明: 證明方法(一)中將被化簡式的表達形式與公式掛鉤不容易, 因此，這一種方法的
技巧性較強.證明方法(二)的指導思想是:“消元”. 我們又要問:消元的方法是什么? 回答是: ① 減少三角函數名稱,② 減少角的表達形式.
由證明方法(二)的指導思想還可以獲得以下證明方法:
解法(三) 原式消元成只含
的表達式而被化簡.
原式=
=
=1
解法(四) 原式消元成只含
的表達式而被化簡.
原式=
=
=1
例4．已知圓
，直線
過定點A (1，0)．
(1)若與圓相切，求的方程；
(2)若與圓相交于P，Q兩點，線段PQ的中點為M，又與
的交點為N，判斷
是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由.
(1) 解：①若直線的斜率不存在，即直線是
，符合題意．
②若直線斜率存在，設直線為
，即
．
由題意知，圓心(3，4)到已知直線的距離等于半徑2，即： 
，
解之得 
.
所求直線方程是，
?！ ?
(2) 解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為
由
得
．
又直線CM與垂直，由
得
．
∴ 
為定值.
故是定值，且為6.
解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為.
由 得．
再由
得
．
∴ 
得．
以下同解法一．
解法三：用幾何法，
如圖所示，△AMC∽△ABN，則
，可得
，是定值．
說明: 顯然, 由于應用了平面幾何知識, 解法(三)比解法(一)、解法(二)簡潔.
例5． 雙曲線
的離心率為
，A、F分別是雙曲線的左頂點、右焦點，過點F的直線
交雙曲線的右支于P、Q兩點，交y軸于R點，AP、AQ分別交右準線于M、N兩點.
(1) 若
，求直線的斜率；
(2) 證明：M、N兩點的縱坐標之積為
.
解: (1)解：設
，
∵ 雙曲線的離心率為，
∴ 
，雙曲線方程為
，
∵ 
， ∴
，
∵ 直線為
, ∴ 
，
∵ 點Q是雙曲線上一點， ∴ 
，整理得，
解得
.
(2)證明：設
由題設可知:直線
的方程為
,直線
的方程為
.
∴ 
，
∴ 
，
由
得
∴ 
，
，
∴ 
.(k不存在要作特殊處理)
例6． (揚州市2008屆高三第二次調研測試)
已知圓C：
，直線
，且直線與圓C交于
，點
滿足
.
(1) 當
時,求
的值;
(2) 若
,求
的取值范圍.
解：(1)當時,點在圓上，故當且僅當直線過圓心
時滿足，
∵ 圓心的坐標為(1，1)，
∴ 
.
設,
由
消去
可得,
,
, 
,
∵ , ∴ 
,
∴ 
, 
,
即 
,
∴ 
,
方法(1) 對進行整理
,
方法(2) 對進行整理,
令
, 則函數
的圖象與軸在
上有公共點,若,則
,故不可取.
故
∴ 
或
或
或
或
顯然, 方法(1)和(2)不易求解.
方法(3) 由
得,
① 令
(
)
∴ 
, 
, 
,
, 
∴ 2<
,
解得,
或
② 令 
,則
∴ 在上為單調減函數,
∴ 
∵ =
∴ 2
,
2
,
解得,或
例7．蘇、錫、常、鎮四市2007年第二次模擬考試題(題20)
已知點
都在橢圓
(
)上，
分別過兩個焦點
，當
時，有
成立.
(1)求此橢圓的離心率;
(2)設
,
,當點A在橢圓上運動時,
求證: 
始終是定植.
分析: 本題是一個求值的問題. 在高中數學中, 求值的一般方法是:一是給出未知量的方程,解這個方程得值,題(1)可用這一思想;二是給出未知量的函數表達式,對表達式消元得值,題(2)可用這一思想.題(2)給出未知量的函數表達式的方法有兩種:
(1) 解: 當
時，
，
∴ 
, 
,
∴ 
.
由橢圓的定義,得
, ∴ 
, 
在直角三角形
中,
∵ 
,
∴ 
∴
.
(2) 解：由
可知,
, 故橢圓的方程可化為
,焦點為
.
設
,
,
.
方法① 
.當直線
的斜率存在時,
方法(1)直線的方程為
,代入橢圓方程,得
,
∴ 
, 
,
∵ , ∴ 
, 
,
同理可得, 
,
∴ 
+
,
∴ 
.
方法(2)直線的方程為,代入橢圓方程,得
-
,
.
∵ ,
∴ 
, 
,
,
∴ 
,
同理可得, ,
∴ +=
.
.當直線的斜率不存在時,
,
.
綜上所述, 是定值.
方法② ∵ ,, ∴ 
,
,
∴ 
∴ 兩式相減可得, 
,
(∵
, 
.
同理可得, 
, ∴
.
.當直線的斜率不存在時,, .
綜上所述, 是定值.
例8．(宿遷市2007屆高三年級第四次考試)21題
由原點O向曲線
引切線，切點
異于點O，再由點引此曲線的切線，切點
異于點，如此繼續下去，得到點列
.
(1) 求
;
(2) 求證數列
為等比數列.
(1) ∵, ∴ 
∴ 過原點O, 切點為的切線方程為
,
∴ 
消去
得, 
∵ 
∴ 
.
(2) 證明: 設過點
的直線與曲線切于點
,
則切線方程為
∴ 
∵ 
,
∴ 
∴ 
, 
∵, ∴ 
,
∴數列是以
為首項,
為公比的等比數列.
例1. 已知等比數列{
}的各項為正數, 數列{
}滿足
(
>0且
1),
=18, 
=12.
(1) 求數列{}的通項公式;
(2) 試判斷是否存在正整數
,使得當
>時, >1恒成立,并說明理由; (0<<1)
(3) 當>12時,
求證:
+ 
+
+...+
<
.
解：(1)∵ 數列{}是各項為正數的等比數列，∴ 當
2時，
=
-
=
為常數，
∴ 數列{}為等差數列。
∵ =18, =12， ∴=-2+24
.
(2) 由(1)知, =-n+12.
① 若01,則當12時,
1;當=12時, =1;當
12時,
1,故當01時,存在=12,當12時,
1.
② 若1,則當12時,
1;當=12時, =1;當12時,
1,故當01時,不存在,當時, 1.
(3) 方法(一)
當
14時
+ 
+
+...+
=
]
<
=
[
+
]
=
[
]
[
]=
.
=
=
=
=
< 
當=13時,
+ 
+
+...+
=
<
=
=
=
綜上所述, 當
13時, 
+ +
+...+<
.
方法(二)
設
=+ ++...+，則
= 
+
+
+...+
∴-=
+
-=
<
=
<0 .
∴< ,
即{ }單調遞減,
∴
<
.
例2. 已知數列
滿足: 
.
(1)
證明: 數列
成等比數列;
(2)
證明: 
.
(1) 證明: ∵ 
,
∴ 
, 
∵ 
∴ 數列 是以2為首項,公比為2的等比數列.
(2) 證明方法①：
由(1)可知, 
∴ 
,
解得: 
.
證明方法②：由(1)可知, 
< 
< 
<
∴ 
=
=
<
直線與平面平行的證明: 一般用下列兩個基本圖形在已知平面內給出一條直線與已知直線平行, 或用面面平行的方法證明.
證明直線與平面平行,如果利用線面平行的判定定理來證明,就必須在已知平面內找到一條直線與已知直線平行,這條直線一般可以過已知直線作一個與已知平面相交的平面而得到,而這個平面可以經過已知直線和與已知直線、已知平面都相交的另一條直線而得到(如圖(1)),也可以經過過已知直線上兩點且與已知平面相交的兩條平行直線而得到(如圖(2)). (輔助線的添加問題)
例3．四棱錐
的底面是平行四邊形, 點在棱SA上,點
在BD上,且
, 求證: 
∥平面
.
例4．正三棱柱
中，E為AC的中點.求證: 
‖平面
.
分析: 先利用圖形(1)在平面內給出與直線平行的直線.
本例中與直線、平面都相交的直線有
、
、
、
.
① 與確定平面
，
顯然點
是平面與平面的一個公共點,
延長
、
相交于點F,連結BF，則直線BF就是經過直線的平面與平面的交線，只要證明直線‖直線
,就可得‖平面.
② 與確定平面
,
顯然點E是平面與平面的一個公共點,
連結
,設直線與直線
的交點為G, 連結EG,則直線EG就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線
,就可得‖平面.
③ 與確定平面，顯然點是平面與平面的一個公共點,因此,這時的證明方法與①相同.
④ 與確定平面
,
顯然點
是平面與平面的一個公共點,延長
到
,使
,連結
,則
就是平面與平面的交線，只要證明直線‖直線,就可得‖平面.
下面再利用圖形(2)在平面內給出與直線平行的直線.
① 直線AC是過點A且與平面相交于點E的一條直線,下面我們在給出一條過點
且與AC平行、與平面相交的另一條直線.
在平面
內過點作
‖
,過點作
,連結 
,只要證明就是經過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面.
② 直線AB是過點A且與平面相交于點B的一條直線,下面我們在給出一條過點且與AB平行、與平面相交的另一條直線.
在平面內延長
到T,使
=,連結
、
,只要證明就是經過直線的平面與平面的交線，且直線‖,就可得‖平面.
本例也可以利用面面平行的性質證明‖平面.
取的中點F, 連結AF、B1F，證明平面
‖平面，就可得‖平面.
本例也可以用基底向量法給出證明.
證明: 取
為一組基底.
,
, 
=
,
設
=
, 則=(
)
=
∴ 
∴
, 
,
∴ =-+ ,
∴‖平面.
例1．求函數
在
上的最小值為-2，求實數的取值 .
例2．已知函數
的最小值是
，求實數的取值 .
解：若
,則函數的定義域為[0,+
),且為增函數,故
,得
;
若
,則函數的定義域為[-a,+),且為增函數,故
,得
,
∴ 
.
例3． (鹽城市2008屆高三第一次調研卷)題12
已知函數
在
的最大值為
,求實數的取值 . 
例4． (蘇州市2008屆高三第一次調研測試)題19
某商店經銷一種奧運會紀念品,每件產品的成本為30元,并且沒賣一件產品需向稅務部門上交(為常數,
)元的稅收.設每件產品的日銷售價為
元,根據市場調查, 日銷售量與
為自然對數的底數)成反比例.已知每件產品的日銷售價為40元時, 日銷售量為10件.
(1)
求該商店的日利潤
元與每件產品的日銷售價元的函數關系式;
(2)
當沒件產品的日銷售價為多少時, 該商店的日利潤最大,并求出的最大值.
解: (1) =
;
(2) 
=
∵ , ∴ 
①
若
,則
, 
(當且僅當
是
取等于號),
這時,函數在
上為減函數, 的最大值為
,即10
;
②
若
,則
,當
時, 
,當
時, ,
這時, 函數在
上為增函數, 在
上為減函數,故函數的最大值為
,即
∴ 
例5．求函數
的最小值.
例6．設a為實數, 函數
.
(1) 討論函數
的奇偶性; (2) 求的最小值.
解(1): 若函數為奇函數，
則
+=0，即(
)+(
，這是不可能的，故函數不可能為奇函數.
若函數為偶函數，
則-=0，即()-(，
∴ 等式
對任意
都成立, 故
,即時函數為偶函數.
(2) 函數可以化為
方法(一) (整體求解)
① 若
，則函數在
是減函數,在
上是增函數, 故函數的最小值為
.
② 若
,則函數在
是減函數,在
上是增函數, 故函數的最小值為
.
③ 若
，則函數在
是減函數,在
上是增函數, 故函數的最小值為
.
方法(二) (分段討論)
?、?當
時, 
,
若 
,則函數在是減函數, 故函數的最小值為
,
若,則函數的最小值為.
② 當時, 
,
若 ,則函數的最小值為.
若
,則函數在是增函數, 故函數的最小值為
,
∴ 若，則函數的最小值為;
若,則函數的最小值為;
若,則函數的最小值為.
例7．求使關于的不等式
在
恒成立的實數的取值范圍.
例8．若不等式
對任意的正整數恒成立,則實數的取值范圍是 . 
例9．已知二次函數
，對于
，
成立，試求實數的取值范圍.
解: 由題設可知, 
,
① 若
, 則
;
② 若
, 則
,
∴ 
, 
,
.
例10． (南京市2008屆高三第一學期期末調研卷)題20
已知數列
是公差為
的等差數列,它的前項和為,
.
(1)
求公差的值;
(2)
若
,求數列
中的最大項和最小的項;
(3)
若對任意的
,都有
成立,求
的取值范圍.
解：(1)∵ 
∴ 
，解得，
.
(2)
若,則
,
∴ 
=
∴ 當
時,
取最大值3, 當3時,取最大值-1.
(3) 
=1+
,
∵ , ∴ 1+
1+
, ,
方法①：
若
，則
，
，∴ 
；
若
，則
若，則
，
.
綜上所述, .
方法②：考慮函數
由此可知, 
, ∴ .
例11． (南京市2008屆高三第一學期期末調研卷)題18
某建筑的金屬支架如圖所示,根據要求至少長2.8
,為的中點,到
的距離比
的長小0.5,
.已知金屬支架每米的價格一定,問怎樣設計,的長, 可使建造這個支架的成本最低?
解：設
則
，
由題設可知，在
中，
.
設
,
方法①：則由知，
，
∴ 
=
(當且僅當
即
時等于號成立)
=7
這時
，即=3,=4時建造這個支架的成本最低.
方法②：.
,
則
，
，
， 
，
∵ 
， ∴
.
當
時, 
, 即
,
, 
,
,故7為的最小值. 即=3,=4時建造這個支架的成本最低.
方法③：.
,
則，
令
，則函數
的圖象與軸在
上有公共點.
∴ 
或
解得,
或
,即.
當時, ,, 即=3,=4時建造這個支架的成本最低.