1．數列的概念，數列的通項公式與遞推關系式，等差數列和等比數列的概念、有關公式和性質。

2．判斷和證明數列是等差(等比)數列常有三種方法：

(1)定義法：對于n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。

(2)通項公式法：

①若，則為等差數列；

②若，則為等比數列；

③中項公式法：驗證都成立。

3．在等差數列中,有關S_n的最值問題--常用鄰項變號法求解：

(1)當,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.

(2)當,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

4．數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法、分組求和法、累加累積法、歸納猜想證明法等。

5．數列的綜合應用：

⑴函數思想、方程思想、分類討論等思想在解決數列綜合問題時常常用到。

⑵數列與函數、數列與不等式的綜合、用數列知識解決實際問題等內容。

6．注意事項：

⑴證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明或而得。

⑵在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便。

⑶對于一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。

⑷注意一些特殊數列的求和方法。

⑸注意與之間關系的轉化。如：

=，=．

⑹數列的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數列的概念和性質，離不開數學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．

⑺解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．

⑻通過解題后的反思，找準自己的問題，總結成功的經驗，吸取失敗的教訓，增強解綜合題的信心和勇氣，提高分析問題和解決問題的能力．

7．知識網絡

考點一：等差、等比數列的概念與性質

例題1. (山東省濱州市2007年高三第三次復習質量檢測)已知等比數列分別是某等差數列的第5項、第3項、第2項，且

　 (Ⅰ)求；

　 (Ⅱ)設，求數列

解析：(I)依題意

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(II)　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　

點評：本題考查了等比數列的基本性質和等差數列的求和，本題還考查了轉化的思想。

例題2. (2007年湖南省長郡中學第二次月考)設數列的前n項和為S_n，若是首項為1，各項均為正數且公比為q的等比數列.

　　 (1)求數列的通項公式；

　　 (2)試比較的大小，并證明你的結論.

解析：(Ⅰ)∵是各項均為正數的等比數列.

∴.　 當n=1時，a₁=1，　 當

∴。

(Ⅱ)當n=1時，

　　 ∴

∴當

∵

①當q=1時，

②當

③當

綜上可知：　 當n=1時，

當　

若　

若

點評：本題考查了等比數列的基本知識，還要注意分類討論。

考點二：求數列的通項與求和

例題3. (2007年5月湖北省十一校).已知數列中各項為：

個

個

　 12、1122、111222、……、　 ……

　 (1)證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積.

　 (2)求這個數列前n項之和S_n .　

解析：先要通過觀察，找出所給的一列數的特征，求出數列的通項，進一步再求和。

答案：(1)　

　　　　　　　 　　　

個

記：A =　,　 則A=為整數

　= A (A+1) ，　 得證

(2)

　　　　　　　　　　　　　　　

點評：本題難點在于求出數列的通項，再將這個通項“分成” 兩個相鄰正數的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。

例題4. (云南省2007年第一次高中畢業生復習統一檢測) 已知是數列{}的前n項和，并且=1，對任意正整數n，；設).

　 (I)證明數列是等比數列，并求的通項公式；

　 (II)設的前n項和，求.

解析：(I)

　　　 兩式相減：

　　　

　　　

　　　 是以2為公比的等比數列，

　　　

　　　

　 (II)

　　　

　　　 而

　　　 　

點評：本題利用轉化思想將遞推關系式轉化成我們熟悉的結構求得數列的通項，第二問求和用到裂項的辦法求和。

考點三：數列與不等式的聯系

例題5.(2007年5月莆田四中)已知為銳角，且，

函數，數列{a_n}的首項.

　　 ⑴ 求函數的表達式；

　　 ⑵ 求證：；

⑶ 求證：

解析：本題是借助函數給出遞推關系，第(2)問的不等式利用了函數的性質，第(3)問是轉化成可以裂項的形式，這是證明數列中的不等式的另一種出路。

答案：解：⑴　　 又∵為銳角

　　　　　　 ∴　　 ∴　　 　　

　　　 ⑵ 　　　∵　　 ∴都大于0

　　　　　　 ∴　　　 ∴　　　　

　　　 ⑶　 　

∴　　　　　　

　　　　　　 ∴

　　　　　　 　　　　　　

∵, 　,　 又∵

　　　　　　 ∴　　　　　　 ∴

　　　　　　 ∴

點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數學中的重要思想，本題中的第(3)問不等式所給的式子更具有一般性。

例題6.(東城區2007年檢測)已知數列滿足且

　 (Ⅰ)求的表達式；

　 (Ⅱ)求；

　 (Ⅲ)若，試比較的大小，并說明理由.

解析：(I)

當時上式也成立，

　　 (Ⅱ)

　 ①

　　　　 ②

①-②，得

　 (Ⅲ)由(Ⅱ)可得又

當

當

當

綜上所述，當

點評：比較大小的常見的辦法是做差，但關鍵在于和零比較，要注意在不同的條件下有不同的結果，也就是要根據分類討論。

例題7.(2007年5月2007浙江省五校) 已知函數,數列滿足,

; 數列滿足, .求證:

(Ⅰ)

(Ⅱ)

　　 (Ⅲ)若則當n≥2時,.

解析：第(1)問是和自然數有關的命題，可考慮用數學歸納法證明；第(2)問可利用函數的單調性；第(3)問進行放縮。

答案：解: (Ⅰ)先用數學歸納法證明,.

　　　 (1)當n=1時,由已知得結論成立;

　　　 (2)假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,

　　　 因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數.

　　　 又f(x)在上連續,所以f(0)<f()<f(1),即0<.

　　　 故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數都成立.

　　　 又由, 得,從而.

　　　 綜上可知

　　　 (Ⅱ)構造函數g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

　　　 由,知g(x)在(0,1)上增函數.

　　　 又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0.

因為,所以,即>0,從而

(Ⅲ) 因為 ,所以,　,

　　　 所以　 ----① ,

　　　 由(Ⅱ)知:,　 所以=　,

　　　 因為, n≥2,

所以 <<=----② .

由①② 兩式可知: .

點評：本題是數列、超越函數、導數的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。

考點四：數列與函數、向量、概率等的聯系

例題8.(四川省南充高級中學2008屆十月份月考)無窮數列的前n項和，并且≠．

　(1)求p的值；

(2)求的通項公式；

(3)作函數，如果，證明：．

解析：(1)∵　　∴　，且p＝1，或．

　若是，且p＝1，則由．

　∴　，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得．

　又，∴　．

　(2)∵　，，　∴　．

　．

當k≥2時，．　

∴　n≥3時有．

　∴　對一切有：．

　(3)∵　，　∴　．　．

　故．　∴　．

　又．

　∴　．

　故　．

點評：本題是函數、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。

例題9.(重慶市渝西中學2008屆高中三年級第一次模擬考試)已知定義域為R的二次函數的最小值為0且有，直線被的圖象截得的弦長為，數列滿足，

(1)求函數的表達式；

(2)求證；

(3)設，求數列的最值及相應的。

解析：第(2)問實際上是求數列的通項；第(2)問利用二次函數中求最值的方式來解決。

答案：解：(1)設，則兩圖象交點為　

∵　　 ∴　

(2)　 ∵

　 ∴　

　 ∵　 ∴，故　 ∴，

數列是首項為1，公差為的等差數列　

∴，　

(3)

　 令，　

則　 ∵

∴的值分別為

經比較距最近

當時，有最小值是，當時，有最小值是。

點評：本題二次函數、不等式知識的交匯題，要解決好這類題是要有一定的數學素養的。

例題10.(云南省2007年第一次高中畢業生復習統一檢測)某人拋擲一枚硬幣，出現正面、反面的概率均為，使得

　 (I)求S₄=2的概率；

　 (II)若前兩次均出現正面，求的概率.

解析：解：(I)若S₄=2，則需4次中有3次正面1次反面，設概率為P₁，則

　　　

　　　 所以，S₄=2的概率為.

　 (II)且前兩次出現正面，則后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面，設其概率為P₂，則

　　　 ∴若前兩次均出現正面，則的概率為.

點評：本題是以數列和概率的背景出現，題型新穎而別開生面，要解決好此題要需要冷靜，問題本身并不難。

(一)方法總結

1. 求數列的通項通常有兩種題型：一是根據所給的一列數，通過觀察求通項；一是根據遞推關系式求通項。

2. 數列中的不等式問題是高考的難點熱點問題，對不等式的證明有比較法、放縮，放縮通常有化歸等比數列和可裂項的形式。

3. 數列是特殊的函數，而函數又是高中數學的一條主線，所以數列這一部分是容易命制多個知識點交融的題，這應是命題的一個方向。

(二)2008年高考預測

1. 數列中與的關系一直是高考的熱點，求數列的通項公式是最為常見的題目，要切實注意與的關系.關于遞推公式，在《考試說明》中的考試要求是：“了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項”。但實際上，從近兩年各地高考試題來看，是加大了對“遞推公式”的考查。

2. 探索性問題在數列中考查較多，試題沒有給出結論，需要考生猜出或自己找出結論，然后給以證明.探索性問題對分析問題解決問題的能力有較高的要求.

3. 等差、等比數列的基本知識必考.這類考題既有選擇題，填空題，又有解答題；有容易題、中等題，也有難題。

4. 求和問題也是常見的試題，等差數列、等比數列及可以轉化為等差、等比數列求和問題應掌握，還應該掌握一些特殊數列的求和.

5. 將數列應用題轉化為等差、等比數列問題也是高考中的重點和熱點，從本章在高考中所在的分值來看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

6. 有關數列與函數、數列與不等式、數列與概率等問題既是考查的重點，也是考查的難點。今后在這方面還會體現的更突出。

(一)選擇題

1．在正整數100至500之間能被11整除的個數為(　)

A．34　　　　　　　　　　　　 B．35　　　　　　　　　　　　 C．36　　　　　　　　　　　　 D．37

2．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n²－1(n≥1)，則a₁+a₂+a₃+a₄+a₅等于(　)

A．－1　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　 C．0　　　　　　　　　　　　　 D．2

3．{a_n}是等差數列，且a₁+a₄+a₇=45，a₂+a₅+a₈=39，則a₃+a₆+a₉的值是(　)

A．24　　　　　　　　　　　　 B．27　　　　　　　　　　　　 C．30　　　　　　　　　 　　　 D．33

4．等差數列{a_n}中，已知a₁=－6，a_n=0，公差d∈N^*，則n(n≥3)的最大值為(　)

A．5　　　　　　　　　　　　　 B．6　　　　　　　　　　　　　 C．7　　　　　　　　　　　　　 D．8

5．設a_n=－n²+10n+11，則數列{a_n}從首項到第幾項的和最大(　)

A．第10項　　　　　　　　 B．第11項　　　　　　　　 C．第10項或11項　　 D．第12項

6．已知等差數列{a_n}的公差為正數，且a₃.a₇=－12，a₄+a₆=－4，則S₂₀為(　)

A．180　　　　　　　　　　　 B．－180　　　　　　　　　　 C．90　　　　　　　　　　　　 D．－90

7．設函數f(x)滿足f(n+1)=(n∈N^*)且f(1)=2，則f(20)為(　)

A．95　　　　　　　　　　　　 B．97　　　　　　　　　　　　 C．105　　　　　　　　　　　 D．192

8．由公差為d的等差數列a₁、a₂、a₃…重新組成的數列a₁+a₄， a₂+a₅， a₃+a₆…是(　)

A．公差為d的等差數列　　　　　　　　　　　　　　　　 B．公差為2d的等差數列

C．公差為3d的等差數列　　　　　　　　　　　　　　　 D．非等差數列

考查等差數列的性質．

9．已知三角形的三邊構成等比數列,它們的公比為,則的取值范圍是(　 )

A．　　 B．　　　 C．　　 D．　

10．數列的通項公式,若此數列滿足(),則的取值范圍是

A,　　　　　 B,　　　　　 C,　　　　 D,

11．等差數列,的前項和分別為,,若,則=

A,　　　　　　　 B,　　　　　 　C,　　　　　 D,

12．三個數成等比數列，且，則的取值范圍是　 (　 )

　 (A)　　 (B)　　　　 (C)　　 (D)

(二)填空題

13．在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=(n∈N^*)，則是這個數列的第_________項．

14．在等差數列{a_n}中，已知S₁₀₀=10，S₁₀=100，則S₁₁₀=_________．

15．在－9和3之間插入n個數，使這n+2個數組成和為－21的等差數列，則n=_______．

16．等差數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n、T_n，若=，則=_________．

(三)解答題

17．已知函數

　 (1)求的反函數，并指出其定義域；

　 (2)若數列{a_n}的前n項和S_n對所有的大于1的自然數n都有，且a₁ =1，求數列{a_n}的通項公式；

　 (3)令

18．已知數列{a_n}滿足

　 (1)求證：{a_n}為等比數列；

　 (2)記為數列{b_n}的前n項和，那么：

①當a=2時，求T_n；

②當時，是否存在正整數m，使得對于任意正整數n都有如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由.

19．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且

　 (Ⅰ)求證：數列為等差數列；

　 (Ⅱ)求滿足的自然數n的集合.

20．已知數列為等差數列，其前n項和為

　 (I)若成立，并將其整合為一個等式；

　 (II)一般地，若存在正整數k，使，我們可將(I)中的結論作相應推廣，試寫出推廣后的結論，并推斷它是否正確.

21．已知數列滿足遞推式，其中

　 (Ⅰ)求；

　 (Ⅱ)求數列的通項公式；

　 (Ⅲ)求數列的前n項和.

22．已知等差數列，公差d大于0，且是方程的兩個根，數列的前n項和為。

(1)求數列、的通項公式；

(2)記

強化訓練題答案

1．[答案]C解析：觀察出100至500之間能被11整除的數為110、121、132、…它們構成一個等差數列，公差為11，數a_n=110+(n－1).11=11n+99，由a_n≤500，解得n≤36．4，n∈N^*，∴n≤36．

2．[答案]A解析：由已知：a_n+1=a_n²－1=(a_n+1)(a_n－1)，

∴a₂=0，a₃=－1，a₄=0，a₅=－1．

3．[答案]D解析：a₁+a₄+a₇，a₂+a₅+a₈，a₃+a₆+a₉成等差數列，故a₃+a₆+a₉=2×39－45=33．

4．[答案]C解析：a_n=a₁+(n－1)d，即－6+(n－1)d=0n=+1

∵d∈N^*，當d=1時，n取最大值n=7．

5．[答案]C解析：由a_n=－n²+10n+11=－(n+1)(n－11)，得a₁₁=0，而a₁₀>0，a₁₂<0，S₁₀=S₁₁．

6．[答案]A解析：由等差數列性質，a₄+a₆=a₃+a₇=－4與a₃.a₇=－12聯立，即a₃，a₇是方程x²+4x－12=0的兩根，又公差d>0，∴a₇>a₃a₇=2，a₃=－6，從而得a₁=－10，d=2，S₂₀=180．

7．[答案]B

解析：f(n+1)－f(n)=

相加得f(20)－f(1)=(1+2+…+19)f(20)=95+f(1)=97．

8．[答案]B　 解析：(a₂+a₅)－(a₁+a₄)=(a₂－a₁)+(a₅－a₄)=2d．(a₃+a₆)－(a₂+a₅)=(a₃－a₂)+(a₆－a₅)=2d．依次類推．

9．[答案]D　 解析： 設三邊為則，即

　　 得，即

10．[答案]D 解析：1由,恒成立,有,得。

11．[答案]B 解析： 2。

12．[答案]D解析：設，則有。當時，，而，；當時，，即，而，則，故。

13．[答案]6解析：由已知得=+，∴{}是以=1為首項，公差d=的等差數列．

∴=1+(n－1)，∴a_n==，∴n=6．

14．[答案]－110解析：S₁₀₀－S₁₀=a₁₁+a₁₂+…+a₁₀₀=45(a₁₁+a₁₀₀)=45(a₁+a₁₁₀)=－90a₁+a₁₁₀=－2．

S₁₁₀=(a₁+a₁₁₀)×110=－110．

15．[答案]5解析：－21=，∴n=5．

16．[答案]解析：==．

17．解：(1)

定義域為：　

　 (2)

又

而a₁ = 1符合上式，故　

　 (3)

18．解：1)當n≥2時，　

整理得

所以{a_n}是公比為a的等比數列.(4分)

(2)

①當a=2時，

兩式相減，得

(9分)

②因為－1＜a＜0，所以：當n為偶數時，

當n為奇數時，

所以，如果存在滿足條件的正整數m，則m一定是偶數.

當

所以

所以當

當

故存在正整數m=8，使得對于任意正整數n都有

19．解：(Ⅰ)

為首項，－1為公差的等差數列.

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，

當

　

由，解得，而

故所求n的集合為{6}.　

20．解：(I)

　　　 ；

　　　 ；

　　　

　　　 ∴對任意

　 (II)推廣：設等差數列的前n項和為S_n，若存在正整數k，使

　　　 則對任意

　　　 設的公差為

　　　

　　　 故推廣后的結論正確.

21．解：(1)由知

解得：同理得　

(2)由知

構成以為首項以2為公比的等比數列；

；

為所求通項公式

　 (3)

22．解：(1)設的公差為d，由題意得：

(2)

(四)創新試題

1. 在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，­為公差的等差數列.

⑴求點的坐標；

⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：.

2. 設數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n滿足關系式　 3tS_n－(2t+3)S_n－1=3t(t＞0,n=2,3,4…)　

(1)求證　 數列{a_n}是等比數列；

(2)設數列{a_n}的公比為f(t)，作數列{b_n}，使b₁=1,b_n=f()(n=2,3,4…)，求數列{b_n}的通項b_n；

(3)求和　 b₁b₂－b₂b₃+b₃b₄－…+b_2n－1b_2n－b_2nb_2n+1