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    題目列表(包括答案和解析)

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    16.(本小題滿分8分)設f(x)是一次函數,f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比數列,求.

    分析 本題為函數、數列、極限的一道綜合題.解題關鍵是先利用待定系數法確定f(x)的解析式,再求f(1)+f(2)+…+f(n),然后利用極限的運算法則求極限.

    解 設f(x)=kx+b,

    由條件,得8k+b=15,∴b=15-8k.

    f (2), f (5), f (4)成等比數列,

    ∴(5k+b)2=(2k+b)(4k+b).    2分

    b=15-8k代入,

    得(15-3k)2=(15-6k)(15-4k).

    解得k=4,k=0(舍),b=-17.

    f(x)=4x-17.    4分

    f(1)+f(2)+…+f(n)

    =(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

    =4×(1+2+…+n)-17n

    =4·-17n=2n2-15n.   6分

    =   8分

    試題詳情

    15.(本小題滿分8分)平面內有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,求證:n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分.

    分析 本題的關鍵在于如何應用歸納假設及已知條件分析當n=k+1時,第k+1個圓與其他k個圓的交點個數,做到有目的的變形.

    證明 (1)當n=1時,一個圓把平面分成兩部分,又12-1+2=2,故命題成立.

    (2)假設n=k(k∈N*)時,命題成立,即滿足題設條件的k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分.2分

    那么當n=k+1時,設第k+1個圓為⊙O,由題意,它與k個圓中每個圓交于兩點,又無三個圓交于同一點,于是它與其他k個圓交于2k個點,這些點把⊙O分成2k條弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.   6分

    這就是說,當n=k+1時,命題也成立.

    綜上可知,對一切n∈N*,命題都成立.   8分

    試題詳情

    14.已知,則a的值為      .

    分析 本題考查f(x)的極限.因為把x=x0代入分式的分子,分子不為0.又因為f(x)存在,所以把x=x0代入分母,分母必不為0.故采用直接代入法即可求極限.

    解 ∵

    答案

    試題詳情

    13.★設函數x=0處連續,則實數a的值為      .

    分析 本題考查函數的極限及函數f(x)在點x0處連續的定義.

    解 ∵函數f(x)在點x0處連續,

    又∵f(0)=a,∴a=.

    答案

    試題詳情

    12.()=          .

    分析 本題考查數列極限的運算.此題屬于“∞-∞”型,應先分子有理化,再求極限.

    (n-n+1)==

    答案 0

    試題詳情

    11.用數學歸納法證明,假設n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是        .

    解析 因為自變量取n時,不等式的左邊為n項和的形式,所以當n=k+1時應為k+1項的和,它們是,右邊只需把n=k+1代入即可,它們是,故應推證的不等式是

    答案

    試題詳情

    10. a的取值范圍是(   )

    A.a=1             B.a<-1或a

    C.-1<a           D.a<-a>1

    分析 本題考查極限qn=0,|q|<1.要求a的范圍,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

    解法一 ∵()n=0,∴||<1

    a<-1或a.

    解法二 本題可利用特殊值代入法,當a=1時成立,排除C、D.再令a=,∵()n=0成立,∴排除A.

    答案 B

    第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

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    9.★用數學歸納法證明命題“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”,要利用歸納假設證n=k+1時的情況,只需展開(  )

    A.(k+3)3     B.(k+2)3

    C.(k+1)3         D.(k+1)3+(k+2)3

    分析 本題考查用數學歸納法證明整除性問題.只需把n=k+1時的情況拼湊成一部分為假設的形式,另一部分為除數的倍數形式即可.

    解 當n=k+1時,被除數為(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=k3+(k+1)3+(k+2)3+9(k2+3k+3).故只需展開(k+3)3即可.

    答案 A

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    8.★欲用數學歸納法證明對于足夠大的自然數n,總有2n>n3,n0為驗證的第一個值,則(   )

    A.n0=1

    B.n0為大于1小于10的某個整數

    C.n0≥10

    D.n0=2

    解析 本題考查用數學歸納法證明問題時,第一步初始值n0的確定.不能認為初始值都從n0=1開始,需根據實際題目而定.當1≤n<10時,2nn3的大小不確定,而當n≥10時,總有2n>n3.

    答案 C

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    7.★已知數列{an}是由正數組成的數列,a1=3,且滿足lgan=lgan-1+lgc,其中n>1且為整數,c>2,則等于(   )

    A.-1      B.1     C.     D.

    分析 本題考查數列的極限及運算能力.

    解 ∵an>0,lgan=lgan-1+lgc,

    an=an-1·c,=c,

    即數列{an}是首項為a1=3,公比為c的等比數列,an=3·cn-1(c>2),

    答案 A

    試題詳情


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